La teoría de colas: ¿cuál es la más rápida?

Hoy os traigo un vídeo que explica la teoría de colas, una importante rama de las matemáticas, haciendo un pequeño recorrido por su historia y mostrando una forma de aplicarla en el día a día. Está subtitulado al español, pero para verlo tenéis que darle al icono cc. Espero que os parezca interesante. Un saludo.

El porqué de los números

Todos usamos los números a diario. Cada vez que escribimos una cantidad, cada vez que realizamos una operación, cada vez que contamos algo... en todas esas ocasiones utilizamos los símbolos numéricos. Si no existieran, tendríamos que hacer todo lo anterior escribiendo las cantidades con todas las letras, lo cual haría cosas tan sencillas como una suma una tarea ardua y compleja. Pero, ¿de dónde vienen los números? ¿Por qué tienen esa forma?

Los símbolos numéricos son representaciones escritas de cantidades de elementos. La primera civilización en emplear símbolos para realizar operaciones es la civilización babilónica. Se empleaba la escritura cuneiforme (basada en escribir con una cuña sobre tablas de barro), por lo que las cifras también tenían esta forma. Fue el primer sistema del tipo posicional, en el que el valor de un número no venía determinado sólo por su forma, sino también por la posición que ocupaba. Su sistema de numeración era sexagesimal, es decir, tenía de base sesenta. Al ser grandes astrónomos, los babilónicos dejaron su huella en nuestra forma de determinar los períodos de tiempo y los ángulos (una año tiene 12 meses, 24 horas, 365 días, un ángulo tiene 360º…).

En otros lugares del mundo se fueron desenvolviendo nuevos métodos de cifrado, con distintas bases y símbolos (por ejemplo, la escritura ideográfica china de base 20).  Surgió entonces en la Antigua Roma la numeración romana, cuyo funcionamiento podéis consultar fácilmente en cualquier página. A pesar de ser la más moderna, la numeración romana ofrecía muchas carencias, ya que no permitía representar fracciones y con ella era difícil realizar operaciones matemáticas.
  
Paralelamente al método romano, se desarrolló en China el sistema Hu-Ma, de base diez y carácter posicional. Llegó a la India y más tarde los comerciantes lo extendieron hacia el mundo árabe. De esta manera, todo Oriente Medio empleaba la numeración decimal en el año 700. Sin embargo, no sería hasta el año 1202, cuando el matemático italiano Leonardo di Pisa (Fibonacci) escribe su libro Liber Abaci, que difundió las ventajas del sistema decimal por toda Europa.
  
La pregunta es: ¿Por qué nuestros números esta forma? Pues por sus ángulos. El número de ángulos convexos [1] en el trazo de un número es el que determina su forma y, por tanto, la cantidad que designa. Esto es fruto de la evolución de estos símbolos a lo largo del tiempo, pues en un principio no se escribían de esta forma.

  
Debe observarse que estos números están escritos en su forma primitiva y sin líneas curvas. El 0 se considera como un número sin ángulos.

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[1] Ángulos menores que 180º pero mayores que 0º.

El teorema de Grafos

Hoy os traigo,  por fin, la solución al problema del otro día. Sé que os habéis esforzado intentándolo, pero no pasa nada. Al fin y al cabo, he hecho un poco de trampa (el problema, aunque es sencillo, da pie a un desarrollo complejo). Veamos cómo se resuelve.

Lo que el problema pide es, en realidad, imposible. No se puede pasar por todos los puentes sin repetir alguno. Da igual por dónde empecéis, cuál sea vuestra ruta o el medio de transporte (a no ser que sea un barco, claro). Siempre llegaréis a una isla sin haber acabado el recorrido y habiendo pasado por todos los puentes disponibles desde esa posición. ¿Por qué? Observad la simplificación del problema:

Como veis, el problema queda reducido a estos cuatro puntos unidos por líneas (aristas). Esto es lo que se conoce como grafo. Introduzco ahora un concepto nuevo: el grado de los vértices. Es el número de aristas que inciden en cada punto. Así, tenemos un vértice de grado 3, uno de grado 5 y otros dos de grado 3. De esta forma, todos los vértices tienen grado impar. Entonces, ¿se puede llevar a cabo lo que pide el problema?

Imaginad un triángulo. Todos sus vértices son de grado par (en cada punto o nudo inciden dos aristas). Esto implica que puedes "salir" y "entrar" una vez en cada punto. O al revés. Entonces, se deduce que es posible recorrer todas las aristas de un triángulo una sola vez, volviendo al vértice del que se partió. Es lo que se conoce como ciclo euleriano. Esto se aplica a cualquier grafo cuyos vértices sean de grado par. Pero, ¿y si hay vértices de grado impar? Ya habréis deducido que, si el número de vértices de grado impar es impar, recorrer todo el grafo es imposible. ¿Y si este número es par? Os digo que tampoco. Y esto es un axioma, por lo que su demostración es bastante difícil. Solo hay una excepción a este enunciado.

La excepción es que haya solo dos vértices de grado impar en todo el grafo. Así, se produciría un camino Euleriano, en el cual se recorren todos los puntos siempre que se parta de uno de los nudos de grado impar. Además, siempre se termina en el otro vértice de grado impar. Probadlo en la imagen de arriba.

Por todo esto, se llega a la conclusión de que el problema del otro día, conocido como "el problema de los puentes de Könisberg", es imposible. La resolución de este problema, planteado por Leonhard Euler en el año 1736, se considera el primer artículo sobre la teoría de grafos y la topología: dos importantes ramas de la matemática. Esta ha sido, además, mi pequeña introducción al teorema de grafos, explicando de la forma más sencilla posible el concepto de grado.

Espero que os haya gustado. Un saludo, y hasta otra.

Sobre puentes y paseos

Hoy os traigo un problema matemático para que lo resolváis. Su enunciado es el siguiente:

He aquí el mapa de una antigua ciudad de Prusia. Aunque la ciudad está dividida por un río, hay siete puentes que nos permiten pasar de una zona a otra. En esta ciudad vive Leonardo, un hombre aficionado a los paseos y al que le gustan bastante las matemáticas. Un día, observando el mapa, se hizo la siguiente pregunta: ¿Es posible empezar en una zona de la ciudad y dar un paseo cruzando todos los puentes, sin pasar más de una vez por un puente, y volver al punto de partida? 

Os animo a intentar resolverlo. Publicad vuestras respuestas como comentarios en esta entrada. Al que dé la mejor respuesta lo mencionaré en la entrada en la que yo explique este problema (sé que no es un premio muy grande, pero lo importante es pasarlo bien resolviendo el problema).

Saludos, y suerte con el problema

La sección áurea

Saludos bloggeros. Hoy os traigo un nuevo post sobre un tema que no sé si conoceréis, pero que en mi opinión es bastante interesante entretenido. Se trata del tema de la seccion áurea, un concepto matemático bastante curioso e interesante. Comencemos.

Probablemente, si ahora saliera a la calle y preguntara a la gente si cree que el Universo es un lugar caótico, me dirían que sí. Incluso un físico o un cosmólogo me podrían decir lo mismo. Al fin y al cabo, el azar es una constante en el universo. Pero no siempre. Ya los griegos se dieron cuenta de que eso no podía aplicarse siempre. Según ellos, tiene que haber algún patrón en la naturaleza que se cumpla, tiene que haber un orden. Este patrón es lo que hoy en día conocemos como el número áureo, del cual derivan un montón de estrucuturas habituales en la naturaleza. Veamos por qué.

En esta imagen se puede observar la definición matemática del número de oro. Es un número irracional algo mayor que uno, imposible de representar al completo puesto que tiene infinitos decimales. Tampoco hay ningún patrón entre ellos, al igual que pasa con Pi y e. Sin embargo, esto es un poco frío. Y creo que la mejor forma de explicar el número de oro es con un vídeo:

Como veis, el número áureo está en todas partes. Es un número muy importante en la naturaleza y en el Universo. Y aunque este sigue siendo en su mayor parte una estructura caótica, queda claro que no siempre es así. Bueno, os dejo ahora un último vídeo sobre el tema. Tranquilos, este es muy fácil y bonito de ver. Es un vídeo de un estudio de arte español, no hay explicaciones de ningún tipo. Tan solo admirad su belleza.

Esto es todo sobre la sección áurea. ¡Hasta otra!